FIGURES REGULIERES
Notations sur un exemple
On nommera un sommet A0 (espace affine de dimension 0) et le nombre de sommet d'une figure : a0
On nommera un segment A1 et le nombre de d'arêtes : a1
On nommera une face A2 et le nombre de faces : a2 etc.
Pour un cube on a a0=8, a1=12 et a2=6
On a par ailleurs 3 arêtes par sommet ( 3A1 par A0) ,3 faces par sommet, 2 faces par arête..
On résume ceci dans un tableau de terme général a i,j:
par |
A0 |
A1 |
A2 |
A0 |
1 |
3 |
3 |
A1 |
2 |
1 |
2 |
A2 |
4 |
4 |
1 |
A3 |
8 |
12 |
6 |
La partie bleue du tableau fait référence au fait que la figure de sommet pour un cube, est un triangle.
La partie rose illustre la hiérarchie des bords. Le cube est bordé de faces, elles-mêmes bordées de segments, eux-mêmes bordés de points.
Sachant que 8 sommets et qu'il y a 3 segments par sommet on pourrait compter sur 24 segments s'il n'y avait 2 sommets par segment. Il y a donc 24/2 =12 arêtes. De même on compte 8*3/4 =6 arêtes
Les termes courants du tableau vérifient : a (3,i)= a(3,0) * a(0,i) / a(i,0) pour i>0
En dimension 2 :
.. par.. |
A0 |
A1 |
A0 |
1 |
2 |
A1 |
2 |
1 |
A2 |
p |
p |
Les seules figures régulières (convexes)sont des polygones réguliers à p sommets
Leur symbole de Schläfli est {p}
La relation d'Euler devient ici : a0 -a1 =0
Il y a autant de côtés que de sommets.
En dimension 3
par |
A0 |
A1 |
A2 |
A0 |
1 |
q |
q |
A1 |
2 |
1 |
2 |
A2 |
p |
p |
1 |
A3 |
a(3,0) |
(a(3,0))*q/2 |
(a (3,0))*q/p |
p>2 et q>2
Leur symbole de Schläfli est {p,q}
Relation d'Euler :
Si on ampute un solide d'un sommet, on doit relier si ce n'est déjà fait, les sommet de la figure de sommet. Pour un cube, on tracera 3 diagonales de carrés. A chaque fois qu'on trace une nouvelle arête sur une face existante, on ajoute une nouvelle face (un carré est coupé en 2 triangles rectangles) La différence a2-a1 na change pas. En supprimant le "coin" contenant le sommet à supprimer, on retire autant de faces que de côtés jouxtant le sommet. La quantité -a1+a2 ne change pas. Enfin j'enlève le sommet et je fais apparaître une nouvelle face (cicatrice). La quantité a0+a2 ne change pas. Au total a0-a1+a2 ne varie pas.
En dimension 3 le nombre minimum de sommet est 4 . On a alors a0=4, a1=6 et a2=4.
En dimension 3 : a0-a1+a2=4-6+4=2
On cite en général : S-A+F =2
En dimension 4 on aurait : a0-a1+a2-a3 = 5-10+10-5=0
Pourquoi 5 solides ?
La relation d'Euler compte tenu de la dernière ligne du tableau conduit à :
a(3,0) (2p-pq+2q) =4p
En posant p=2+x et q = 2+y avec x et y strictement positifs,
2p - pq + 2q >0 devient : xy<4
Les couples (x,y) possibles sont (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) et (3,1)
Pour (p,q) les couples possibles sont (3,3) (3,4) (3,5) (4,3) et (5,3)
Ces couples définissent l'indice de Schläfli des 5 solides de Platon
L'interversion de p et q définit la conjugaison des solides.
On a en fin de compte avec D(p,q) =2p-pq+2q
a 3,0 = 4p/D(p,q)
a 3,1 =2pq/D(p,q)
a 3,2 =4q/D(p,q)
Ces expressions seront notées f(p,q), g(p,q) et h(p,q)
Les 5 solides de Platon
On retrouve a0, a1, a2 en dessous du nom
Tétraèdre ou simplexe {3,3} |
Cube {4,3} |
Dodécaèdre {5,3} |
||||||
4 |
6 |
4 |
8 |
12 |
6 |
20 |
30 |
12 |
autoconjugué) |
Octaèdre {3,4} |
Icosaèdre {3,5} |
||||||
( |
6 |
12 |
8 |
12 |
30 |
20 |
||
Formes étoilées : 2 des 4 solides de Képler Poinsot :
|
|
20points |
12 points |
En dimension 4
par |
A0 |
A1 |
A2 |
A3 |
A0 |
1 |
f(q,r) |
g(q,r) |
h(q,r) |
A1 |
2 |
1 |
q |
q |
A2 |
p |
p |
1 |
2 |
A3 |
f(p,q) |
g(p,q) |
h(p,q) |
1 |
A4 |
a(4,0) |
a(4,0)*f(q,r)/2 |
a(4,0) * g(q,r)/p |
a(4,0) *h(q,r)/f(p,q) |
L'écriture de la relation d'Euler en dimension 4 :
a0 -a1+a2-a3 =0 donne ici après réduction :
p D (q,r) -2pq +2qr -r D (p,q) =0
Cette expression étant identiquement nulle, elle ne conduit pas au calcul de p,q,r
La lecture de a(4,0) se fera dans la partie "figures en dimension 4"
Dans le tableau suivant on trouve la figure, le nom, le symbole de Schläfli, et en dessous les nombres de sommets arêtes, faces et cellules dont la nature est rappelée.
Exemple : L'hyperoctaèdre compte 8 sommets, 24 arêtes, 32 faces qui sont des triangles et 16 cellules qui sont des tétraèdres.
Pour une figure de symbole{p,q,r} une face est de symbole {p,q} et une figure de sommet de symbole {q,r}
Les Polytopes ou polychores réguliers
Simplexe {3,3,3} |
Hypercube{4,3,3} |
Hyperdodécaèdre{5,3,3} |
|||||||||
5 |
10 |
10 {3} |
5 {3,3} |
16 |
32 |
24 {4} |
8 {4,3} |
600 |
1200 |
720 {5} |
120 {5,3} |
|
hyperoctaèdre {3,3,4} |
Hypericosaèdre{3,3,5} |
|||||||||
|
8 |
24 |
32 {3} |
16 {3,3} |
120 |
720 |
1200 {3} |
600 {3,3} |
|||
|
hypergranatoèdre{3,4,3} |
|
|||||||||
|
24 |
96 |
96 {3} |
24 {3,4} |
|
||||||
En règle générale un prisme n'est pas une figure régulière sauf s'il est à base carrée. C'est ce qui se passe pour la figure de sommet de l'hypergranatoèdre.
Son homologue {3,5,3} pas plus que {5,3,5} {4,3,4} n'apparaissent dans les figures associées aux familles platoniciennes de symétries en dimension 4.
Formes étoilées :
|
|
600 points |
120 points |
