Les figures étoilées

Une stellation parmi d’autres :

Les figures concernées :

Dans le plan les polygones réguliers inscrits dans un cercle de rayon 1

Dans l’espace les solides convexes associés à une famille de symétries (ordre 3, 4 ou 5) inscrits dans une sphère de rayon 1 et ayant leurs arêtes égales

Le principe :

Les distances respectives entre 2 sommets quelconques sont en nombre finis et la plus petite d’entre elles est associée à la seule figure convexe possible.

La plus grande distance possible : 2, quand la figure présente une symétrie centrale est écartée (les pointes seraient alors des aiguilles !)

Les valeurs intermédiaires possibles conduisent à la construction d’une étoile dès lors qu’on les retrouve 2 fois dans le plan et au moins 3 fois dans l’espace.

Les pointes de l’étoile sont limitées par des triangles. (c’est un choix). Le sommet est un des points de la figure d’origine et les points de base à l’intersection la plus proche avec une autre arête

(On admet son existence!)

La base des triangles formant la pointe , n’est pas forcément supportée par un arête.

La figure formée par les points de base des pointes forment le cœur (pas toujours convexe) de l’étoile.

On associe horizontalement les figures dont les carrés des distances sont compléments à 4 l’une de l’autre.