FAMILLES DE SYMETRIES EN DIMENSION QUELCONQUE
Systèmes prismatiques en dimension d
F0(i0,..,id-1 )
Considérons une base telle que tous les couples de vecteurs forment entre eux un angle de π/2 à l'exception d'un seul formant un angle de π/n (n entier)
Dans la base orthonormée i0,..,id-1 remplaçons i1 par j1 dans le plan de base {i0,i1} tel que (i0,j1) =π/n
La famille complète comprendra entre autres i0,j1,...jn-1définis comme toute sous-famille base .{ i0,j1}
La famille engendrée comportera n+d-2 symétries prolongeant la famille associée au système prismatique en dimension 2 ou 3
F1(i0,j1,...,id-1)
La sous-figure F1(i0,j1) compte 2n points et l'action de chacune des autres symétrie en doublera le nombre.
On comptera donc n*2^(d-1) points
Système platonicien en dimension d
F0(i0,..,id-1 )
Considérons une base comprenant un premier vecteur i0 formant avec chacun des d-1 autres, un angle de π/n, ces autres formant entre eux des angles de π/3. Si on supprime l'un quelconque de ces derniers vecteurs on retrouve la base d'une sous-famille possédant la même caractéristique.
On exprimera les vecteurs en notant leurs coordonnées dans une base orthonormée .
La coordonnée d'indice j du vecteur d'indice k est notée a(k,j) et elle figure en italique lorsqu'elle est recopiée
Soit : i0(1,0....,0)
On pose en outre S(0)=0
on pose également : c= cos(π/n) et S(1) = S(0)+ c²
on a : i1(c, a(1,1),0...,0.) garantissant (i0,i1) =π/n;
a²(1,1)= 1-S(1) garantit un module égal à 1 pour i1 (normalisation).
...On sait à ce stade que S(1) ne dépasse pas 1
i2(c, a(2,1),a(2,2),0...,0.) garantissant (i0,i2) =π/n
pour avoir (i1,i2)= π/3 , le produit scalaire i1 . i2 vaut1/2 ce qui peut se traduire par :
S(1)+ a(1,1)*a(2,1) =1/2 d'où le calcul de a(2,1)
On posera alors pour la suite S(2)=S(1) + a²(2,1)
La normalisation conduit à poser a²(2,2) = 1-S(2) si S(2)<1
Un peu plus loin on aura S(k-1) et :
ik( c, a(2,1), ,a(k-1,k-2),a(k,k-1),a(k,k),0..0)
En effet (i0,ik)= π /n conduit à recopier "c" comme 1° coordonnée
(i1,ik)= π/3 conduit au même calcul que pour (i1,i2)= π/3 d'où a(k,1) = a(2,1)
idem pour les rangs suivants.
Pour a(k,k-1) on est amené à exprimer (scalaire) ik-1 . ik = 1/2 ou bien
S (k-1) + a(k-1,k-1)* a(k,k-1)=1/2 d'où le calcul de a(k,k-1)
On pose alors S(k) = S(k-1) + a²(k,k-1)
Si par bonheur S(k)<1 on pose a²(k,k)=1-S(k)
Pour n=3 le calcul ne pose pas de problème.
Pour n=4 le résultat est très simple :
Pour k>0, toutes les coordonnées sont nulles sauf a(k,0) et a(k,k) qui valent √2/2 chacune
Le cas n =5 est plus intéressant
Quand on pose S(5) = S(4) + a²(5,4) on obtient un résultat plus grand que 1! Ce qui bloque le calcul.
Il n'y a plus de famille d'ordre 5 en dimension supérieure à 4. Les figures associées n'existent pas non plus!
Nombre de symétries dans le cas n=3
Les vecteurs de base forment entre eux des angles de π/3.
Posons j(p,q) = ip-iq (il ne peut appartenir à la base)
Ce vecteur complète la sous-famille de base {ip,iq}. Les autres vecteurs de la base et même de la famille sont invariants par la symétrie associée à j.
Il faut donc en dimension "d" ajouter aux "d" vecteurs de base un nombre de vecteurs égal au nombre de choix de 2 d'entre eux parmi "d" soit en tout : d + d(d-1)/2 = d(d+1)/2
Nombre de symétries dans le cas n=4
La sous -famille engendrée par {i0 ik} avec :
i0(1,0...,0) et ik(√2/2,0,..,0, √2/2,0 ,...,0) contient en plus
jk(0,..,0,1,0..,0) et hk(√2/2,0,..,0, -√2/2,0 ,...,0) les termes non nuls intermédiaires étant de même indice.
Pour le reste on voit qu'en plus des "d" vecteurs de la base orthonormée on doit, pour chaque combinaison de 2 rangs pris parmi "d" ajouter 2 vecteurs, dont 2 coordonnées valent au signe près , √2/2
On a donc en tout d + 2*d(d-1)/2 = d² symétries
Nombre de symétries dans le cas n=5
Il y en a 5 en dimension 2 ,
15 en dimension 3
60 en dimension 4
Le déroulement de l'algorithme de construction en permet le constat.
FIGURES REGULIERES EN DIMENSION QUELCONQUE
F1(i0,...,id-1)
En ce qui concerne l'ordre 5 l'étude a été faite en dimension 3 ou 4
Reste à examiner l'ordre 3 et l'ordre 4 en dimension "d"
Ordre 4 en dimension d>2
Une base orthonormée est très bien appropriée.. On s'affranchit de la nécessité de placer les points sur la sphère unité.
Considérons la figure dont les points ont leurs coordonnées nulles sauf k d'entre elles valant +/-1.
Si k=1 on obtient un hyperoctaèdre de symbole {3,3,...,4}
Si k = d on obtient un hypercube de symbole {4,3,...,3}
Dans les cas intermédiaires on obtient une figure comportant C(d,k)*2^k points où C(d,k) désigne le nombre de combinaisons de k objets pris parmi d.
Deux points sont reliés par une arête s'ils sont distants de √2. Les coordonnées sont égales à l'exception de 2 où un 0 est permuté avec +/-1
Si k<d, en modifiant la position d'un zéros, de 2 façons différentes (si d>2),on pourra relier chaque point avec 2 autres points avec lesquels il formera un triangle équilatéral.
Si k>1 on pourra remplacer une de 2 coordonnées non nulles par leur opposé de manière à exhiber les 4 sommets d'un carré.
Comme dans les cas déjà examinés, certaines figures de sommet sont des prismes qui ne sont pas des figures régulières.
Seuls l'hypercube et l'hyperoctaèdre sont des figures régulières.
Ordre 3 en dimension d>2
Un simplexe dans un espace de dimension d est une figure de d+1 points associée à une famille dont une base compte d vecteurs. Ces derniers peuvent être choisis de manières que chacun forme avec tous les autres un angle de π/3 :{i0,i1,..,id-1} avec (ij,ik)= π/3 (j ,k entre 0 et d);
Les hyperfaces et les figures de sommet sont des simplexes de dimension immédiatement inférieure.
On compte a0= d+1 sommets, a1 = C(d+1,2) côtés,.. ,ak= C(d+1,k+1)
a0.-a1+a2....+a2p = C(d+1,1)- C(d+1,2)+...-C(d+1,d)-= -(1-1)^(d+1) +2=2
a0.-a1+a2....+a2p+1 = C(d+1,1)- C(d+1,2)+...+C(d+1,d)-= -(1-1)^(d+1) +1-1=0
Ce résultat permet de généraliser la relation d'Euler en dimension d. en particulier pour les figures définies à l'ordre 4