Familles de dimension 3 dans un espace de dimension 3 au moins

Des conditions nécessaires portant sur i0,i1,i2 pour définir la famille Fo(i0,i1,i2) réunissant un nombre fini de symétries de manière que l'image de la direction propre de l'une d'elle par n'importe quelle autre soit la direction propre d'une symétrie de la famille.

Rappelons dans le plan la condition (2) : Les droites propres forment entre elles des angles de la forme :

k π / n avec 2k ≤ n (n et k entier premiers entre eux)

Soient a,b,g la suite non décroissante des mesures des angles (i0,i1) (i0,i2) (i1,i2) telle que :

g < a+b pour éviter la colinéarité des 3 vecteurs.

Les 3 mesures doivent satisfaire chacune la condition nécessaire énoncée en dimension 2

Si a est différent de π/2 on sera amené à poser j1 = i1 - 2 cos a i0 pour agrandir la famille.

La construction de la famille impose que l'angle d=(i2,j1) satisfasse la condition (2).

Le produit scalaire i2 . j1 vaut cos g-2 cos a cos b

Autrement dit d vérifiant : cos d = | cos g - 2 cos a cos b |

doit satisfaire la condition(2)

On procédera ainsi par permutations circulaires pour énoncer les conditions nécessaires à satisfaire.

Des cas très particuliers :

 Si a = b = g =π /2 la famille est constituée des 3 symétries admettant les axes comme directions propres.

 Considérons maintenant Une famille ne comportant qu'une sous famille Fo(i0,i1)d'ordre n>2.avec a=π/n,

i2 serait alors dans l'orthogonal du plan défini par i0, i1.car ce plan doit rester invariant par S2.

On aurait alors (a,b,g)= (π/n,π /2,π/2) qui vérifie les conditions nécessaires.

Fo(i0, i1, i2) rassemble Fo(i0, i1) avec S2 soit en tout n+1 symétries.

Cette famille peut être qualifiée de prismatique d'ordre n.

 Supposons maintenant que Fo(i0,i1) ne soit pas la seule sous famille d'ordre n et que i0 soit choisi commun à 2 de ces sous familles. On devrait ainsi avoir b =a (dans ]0;/π 2[ ).

 Si g = p/2 alors cos d = 2 cos ² a ce qui implique : cos a dans ]0 , √2/2] (on exprime cos( )<1).

a = π/4 est à exclure car π/4 +π/4 = π/2. Il ne reste que a = π /3.

Si (a, b, g)= (π/3, π/3, π/2) on a Fo(i0,i1,i2) qui contient 6 symétries dont les directions propres sont dirigées par :

i0, i1, i2, i1-i0, i2 -i0, i1 + i2 - i0

Cette famille est qualifiée de tétraédrique.

 Si g = π/3 alors cos d = 2 cos ² a -1/2

alors cos a est dans ]0; √3/2] pour s'assurer que d est dans ]0 π;/2[.

Les valeurs possibles pour a sont donc π/n avec n valant 3, 4 ou 5.

La construction de la famille constitue la meilleure preuve de son existence.

Déroulons pour cela un algorithme de construction :(= étant le signe d'affectation).

La variable d désigne à la fois l'effectif de la famille et l'indice du prochain entrant puisque les indices se déroulent à partir de 0

booléen ajout = vrai; tant que(ajout) {ajout = faux; entier r=0; tant que (r<d) {entier j = depart[r]; // pour ne pas tout reprendre depuis le début à chaque ajout tant que(j<d) {fam[d]=fam[r].changeDirSelon(fam[j]); // on applique Sd=Sj( i r) si (accepte())// on vérifie que le vecteur ou son opposé n'est pas déjà présent {d=d+1; ajout = vrai;} j=j+1; } depart[i]=d; r= r+1; } }

On obtient ainsi pour n valant 3, 4 ou 5, des familles qui comptent respectivement : 6, 9 ou 15 symétries.

Voyons pour chacune les différentes bases possibles.

On a initialement

Mais en posant j1=i1-2cos π/3 i2 = i1 - i2 on a le produit scalaire :i0 . j1 = cos a - cos a = 0 =cos π/2

Si on avait posé k2 = i2 - 2 cos a i0 , le produit scalaire i1 .k2 vaut 1/2 - 2 cos²a .

Ce qui conduit à poser :

cos r = | 1/2 - 2 cos²a| en espérant que la condition (2) sera vérifiée pour r.

Si on baptise f la fonction associant a et r on obtient le tableau de valeurs suivant :

Ainsi :

Pour n = 3 ou 4 on a en renommant éventuellement les vecteurs .

Pour n = 5 on peut y ajouter :

Dans ce dernier cas la liste n'est pas exhaustive. Un angle de 2 π/5 peut être utilisé.

L'image ci-dessus représente les traces sur la sphère unité des plans de symétries pour les 3 précédentes familles

Un motif du pavage de la sphère peut être délimité en utilisant les 3 symétries de base sous sa 2° forme. Une telle base sera qualifiée de bien appropriée

Ces exemples ne sont en rien particuliers car il n'en existe pas d'autres. En effet dans le cas contraire il faudrait allonger la liste des solides de Platon qui apparaîtront dans la liste des figures.

Par allusion aux solides de Platon qu'elles permettent de construire on qualifiera ces familles de platoniciennes d'ordre 3, 4 et 5

Figures en dimension 3

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