MATHS et MUSIQUE

____________________Les cordes vibrantes

La corde CD a une longueur 2/3 de la corde AB. Elles sont de la même matière, tendues de la même manière.

Les vibrations de l’une par l’intermédiaire de l’air ambiant et des harmoniques de chacune sont communiquées à l’autre. Les cordes entrent en résonance.

La fréquence est le nombre d’allers et retours de la corde en une seconde. Les rapports de fréquences sont les inverses des rapports des longueurs des cordes vibrantes.

Le choix des notes

Par rapport à la fréquence d’une note que nous baptisons « do » les autres notes seront définies par le rapport de fréquences avec celle du « do » de base

Premier choix : le rapport 2/1 (qu’on obtient sur une guitare en divisant par 2 la longueur de la courbe vibrante) La note obtenue est un do situé juste au-dessus. Le rapport de fréquences 2/1 définit un octave : on fait référence à l’énoncé des 8 notes :do ré mi fa sol la si do. On l’utilise spontanément lorsqu’on attaque un air trop bas et qu’on remonte directement à l’octave supérieur.

Deuxième choix : le rapport 3/2. Le rapport 3/1 nous emmenant au-delà de l’octave nous revenons entre les 2 « do » évoqués précédemment en divisant la fréquence par 2. Le rapport 3/2 nous conduit à sol soit une quinte (par référence à la liste do ré mi fa sol comportant 5 niveaux.

Et après ! Notre cerveau perçoit comme harmonieux les rapports d’entiers et ceci d’autant plus que ces derniers sont « petits ». On va donc explorer les rapports a/b ( a et b entiers) tels que a/b soit compris entre 1/1 et 2/1

On choisit pour mesurer les couples (a,b) la norme a+b par exemple 3 pour le rapport 2/1 et 5 pour le rapport 3/2

Intéressons-nous aux fractions a/b irréductibles comprises entre 1 et 2 (Autrement dit 0< b < a < 2b) en fonction de leur norme

Des gammes qui privilégient l’harmonie

La gamme naturelle utilise 6 de ces premiers rapports

	do	mi b	mi	fa	sol	la	do
Rapport des fréquences par rapport à do	1 / 1	6 / 5	5 / 4	4 / 3	3 / 2	5 / 3	2 / 1

La gamme de Zarlino définit la gamme diatonique habituelle (sans dièses ni bémols) à partir de rapports d’entiers

	do	ré	mi	fa	sol	la	si	do
rapports	1 / 1	9 / 8	5 / 4	4 / 3	3 / 2	5 / 3	15 / 8	2 / 1

Des tons et des demi-tons

do

ré

mi

fa

sol

la

si

do

fi

1 / 1

9 / 8

5 / 4

4 / 3

3 / 2

5 / 3

15 / 8

2 / 1

Rapports fi+1 / fi

9 / 8

10 / 9

16 / 15

9 / 8

10 / 9

9 / 8

16 / 15

Valeurs approchées

1,13

1,11

1,07

1,13

1,11

1,13

1,07

On remarque que 2 rapports sont inférieurs aux autres et que ces derniers sont relativement voisins les uns des autres. Si on anticipe ce qui adviendra plus loin avec la gamme tempérée on baptisera demi-tons et tons ces écarts de fréquences entre 2 notes consécutives. Ces appellations sont mathématiquement incorrectes Il faudrait pour qu’elles le soient que le carré de 16/15 soit égal aux autres valeurs

En notant « T » le ton et « t » le demi-ton on a un enchaînement : T T t T T T t qui se reproduit vers les octaves plus élevés et les octaves plus graves.

Mode majeur mode mineur.

A partir de « do » l’enchaînement précédent définit le mode majeur. A partir de « la » l’enchaînement devient T t T T t T T qui définit le mode mineur. L’apparition du 1/2 ton après seulement un ton au lieu de 2 dans le mode majeur, apporte selon les musiciens, une note mélancolique.

Une gamme chromatique

Illustration du choix

On peut imaginer une pépinière ou un cimetière militaire avec des plantes ou des tombes disposées selon un quadrillage à base carrée.

Placé en C on balaye du regard les éléments apparaissant entre A et B

On retrouve, en se déplaçant à partir de C de 2 rangées vers la droite et 3 rangées vers le haut un élément représentant la note « sol »

Un segment rouge de pente 3/2 illustre cette fréquence

Les segments noirs correspondent aux notes intercalées entre 2 notes séparées par un ton entier.

do

do#

ré

ré#

mi

fa

fa#

sol

sol#

la

la#

si

do

fi

1 / 1

16 / 15

9 / 8

6 / 5

5 / 4

4 / 3

7 / 5

3 / 2

8 / 5

5 / 3

9 / 5

15 / 8

2 / 1

fi+1/fi

16 / 15

135/128

16 / 15

25 / 24

16 / 15

21 / 20

15 / 14

16 / 15

25 / 24

27 / 25

25 / 24

16 / 15

1,07

1,05

1,07

1,04

1,07

1,05

1,07

1,07

1,04

1,08

1,04

1,07

Les rapports de fréquences étant relativement proches les fréquences sont « presque » en progression géométrique. Les transpositions demeurent hasardeuses dans ces conditions.

Concernant le mode on peut noter que l’ordre des dièses : « fa do sol ré la mi si »  comme l’ordre des bémols : « si mi la ré sol do fa » conserve à une translation près la séquence TTtTTTt

Exemple : mi bémol majeur signifie qu’il y a 2 bémols à la clé et que la base est si bémol ;

si_b _T_ do _T_ ré _t_ mi_b _T_ fa _T_ sol _T_ la _t_ si_b

Le tableau suivant donne le rapport de fréquences entre une 1° note notée horizontalement et une seconde immédiatement supérieure notée verticalement (note finale divisée par note initiale)

On reconnaît en vert (5 / 4) l’accord de tierce ,en rouge (4 / 3) celui de quarte , en rose (3 / 2) celui de quinte :

do

2

15 / 8

16 / 9

5 / 3

8 / 5

3 / 2

10 / 7

4 / 3

5 / 4

6 / 5

10 / 9

16 / 15

2

si

15 / 8

225 / 128

5 / 3

25 / 16

3 / 2

45 / 32

75 / 56

5 / 4

75 / 64

9 / 8

25 / 24

15 / 8

la#

9 / 5

27 / 16

8 / 5

3 / 2

36 / 25

27 / 20

9 / 7

6 / 5

9 / 8

27 / 25

48 / 25

9 / 5

la

5 / 3

25 / 16

40 / 27

25 / 18

4 / 3

5 / 4

25 / 21

10 / 9

25 / 24

50 / 27

16 / 9

5 / 3

sol#

8 / 5

3 / 2

64 / 45

4 / 3

32 / 25

6 / 5

8 / 7

16 / 15

48 / 25

16 / 9

128 / 75

8 / 5

sol

3 / 2

45 / 32

4 / 3

5 / 4

6 / 5

9 / 8

15 / 14

15 / 8

9 / 5

5 / 3

8 / 5

3 / 2

fa#

7 / 5

21 / 16

56 / 45

7 / 6

28 / 25

21 / 20

28 / 15

7 / 4

42 / 25

14 / 9

112 / 25

7 / 5

fa

4 / 3

5 / 4

32 / 27

10 / 9

16 / 15

40 / 21

16 / 9

5 / 3

8 / 5

40 / 27

64 / 45

4 / 3

mi

5 / 4

75 / 64

10 / 9

25 / 24

15 / 8

25 / 14

5 / 3

25 / 16

3 / 2

25 / 18

4 / 3

5 / 4

ré#

6 / 5

9 / 8

16 / 15

48 / 25

9 / 5

12 / 7

8 / 5

3 / 2

36 / 25

4/ 3

32 / 25

6 / 5

ré

9 / 8

135/128

15 / 8

9 / 5

27 / 16

45 / 28

3/ 2

45 / 32

27 / 20

81 / 12

6 / 5

9 / 8

do#

16 / 15

256/135

8 / 3

128 / 75

8 / 5

32 / 21

64 / 45

4 / 3

96 / 75

32 / 27

256 / 225

16 / 15

do

30 / 16

16 / 9

5 / 3

8 / 5

3 / 2

10 / 7

4/ 3

5 / 4

6 / 5

10 / 9

16 / 15

do

do#

ré

ré#

mi

fa

fa#

sol

sol#

la

la#

si

do

Les accords de guitare reprennent les rapports les plus « simples »

L’accord «  mi si mi sol si mi «  sur 4 octaves provoque l’action de chaque corde avec les 5 autres selon le tableau suivant : Le tableau complet est symétrique.

mi	4	8 / 3	2	5 / 3	4 / 3	1
si	3	2	3 / 2	5 / 4	1
sol	12 / 5	8 / 5	6 / 5	1
mi	2	4 / 3	1
si	3 / 2	1
mi	1
	mi	si	mi	sol	si	mi

Un intermède mathématique sur les opérations

les 4 opérations

Allons plus loin

Quand un nombre s’écrit avec un exposant (exemple 2 = 2 ¹ ou 1000= 10 ³) l’élévation à une puissance n multiplie l’exposant par n . Pour l’opération réciproque, racine n ième , l’exposant est divisé par n .D’où la notation a ^1/n

On doit se familiariser avec le fait qu’un exposant n’est pas nécessairement un entier

2¹⁰ = 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 = 1024 .Ainsi la racine 10ème de 1024 vaut 2 soit 1024 ^1/10 = 2

1000 ou 10 ³ dont le logarithme vaut 3 étant proche de 1024 , on peut imaginer que sa racine 10ème soit proche de 2 soit (10 ³)^1/10 = 10 ^0,3 proche de 2

Autrement dit le logarithme décimal de 2 est proche de 0,3 . Une calculatrice donne Log(2) = 0,30103 (valeur approchée par défaut)

Le produit de 100 par 1000 qui vaut 100 000 compte 5 zéros soit la somme du nombre de zéros de 100 et du nombre de zéros de 1000. C’est l’illustration du fait plus général que le logarithme d’un produit est la somme des log de chaque facteur.

De même le log d’un quotient est la différence des logarithmes.

Retour aux gammes privilégiant l’enchaînement des quintes

La gamme de Pythagore repose sur la quasi coïncidence entre l’enchaînement de 12 quintes avec l’enchaînement de 7 octaves soit (3/2) ¹² proche de 2⁷ ou encore 3¹² proche de 2¹⁹

3¹² = 531441 et 2¹⁹ =524288 . Leur différence ne représente que 1,35 % de chaque valeur. Notons au passage qu’aucune puissance de 2 ne peut égaler une puissance de 3.

Le logarithme de 3¹² est 12 fois celui de 2 et le log de 2¹⁹ est 19 fois celui de 2 ,compte tenu du fait que le log d’un produit est la somme des logarithmes

log(3¹²)= 5,725 et log(2¹⁹) = 5,719 à 1 millième près par défaut

si 12 log(3) est proche de 19 log(2) , alors 19/12 est une approximation fractionnaire de k = log(3) / log(2)

la calculatrice donne pour log(3) / log(2) : 1,584925007

L’approximation fractionnaire d’un réel par la méthode des fractions continues repose sur le fait que la partie entière d’un réel est l’approximation par défaut à une unité près de ce réel.

On utilise le fait que l’inverse de la partie décimale est un réel supérieur à 1

la 1° approximation de k est 1 . La partie décimale de k vaut 0,584925007 qui a pour inverse 1,7096208711

Ainsi k = 1+ 1/ 1,7096208711 dont une valeur fractionnaire approchée vaut 1 + 1 / 1 = 2 en négligeant la partie décimale de 1,709628711

En réitérant le processus on obtient une série de fractions approchant k alternativement par défaut et par excès.

La première approximation 1/1 illustre le fait que 2¹ est proche de 3¹. La différence entre les 2 est 1 qui le minimum possible

L’approximation de k par 2/1 illustre le fait que 2² est proche de 3¹

On a ensuite 3/2 illustrant que 2³ est proche de 3²

Ces premières approximations n’ont musicalement parlant aucun intérêt.

Les approximations fractionnaires qui viennent ensuite sont 8/5 et 19/12

Le rapport 8/5 correspond à la gamme pentatonique

La représentation circulaire permet de superposer en un même point les notes différant d’un ou plusieurs octaves.

Les quintes sont représentées par des segments noirs. Le segment rouge cache un rapport associé à 8 demi-tons au lieu de 7 pour les autres

C’est la distorsion liée à l’approximation initiale.

L’énoncé « do ré mi sol la do » définit le mode majeur et l’énoncé « la do ré mi sol la » le mode mineur

Le rapport 19/12 correspond à la gamme de Pythagore

En rouge l’enchaînement fa do sol ré la mi si

« fa » est obtenu à partir de « do » par une quinte descendante . Le point est confondu avec mi#

Le schéma permet de suivre les calculs.

On peut suivre une suite de 12 quintes montantes : do sol ré la mi si fa# do# sol# ré# la# mi# si# (ou do)

mi# est confondu sur le schéma avec fa

Les fréquences associées sont 1;3/2 ; (3/2)² ; … (3/2)¹²

or (3/2)¹² vaut 129,7 proche de 128 = 2⁷ ce qui invite à identifier la dernière note à do

Pour avoir les fréquences des notes de la gamme initiale il convient de diviser par 2 à chaque tour

Ce sera le cas pour le ré dont la fréquence associée sera (3/2)²_x 1/2 = 9/8

Si p = 2⁸/3⁵ = 1,053 et q= 3⁷/2¹¹ = 1,067 alors les rapports de fréquences successives sont respectivement : do q do# p ré q ré# p mi q mi# p fa# p sol q sol# p la q la# p si q do

On peut en tournant dans le sens antihoraire suivre une suite de 12 quintes descendantes : do fa si_b mi_b la_b ré_b sol_b si mi la ré sol do

Sur le schéma si_b est placé en la# etc.

Les fréquences associées sont 1 ; 2/3 ; ...(2/3)¹²

Les rapports de fréquences successives sont : do p ré_b p ré q mi_b p mi q fa p sol_b p sol q la_b p la q si_b p si p do

On mesure là le caractère approximatif de la définition des fréquences ainsi que les nuances entre do# et ré_b par exemple

Pour aller plus loin on s’appuie sur la fraction 84/53 qui permet de fractionner l’octave en 53 commas en les répartissant entre les notes déjà définies.

Notons qu’il existe plusieurs définitions du comma.

Le Hérisson ! Pour les commas

Le schéma complet est un polygone étoilé de 53 sommets d’où le terme hérisson !

La quinte est représentée par la fraction 7/12 de l’octave ou 7/12 de 53 commas soit 31 commas

A31 représente donc le sol

31 + 31 = 72 = 53 +9 d’où le ré représenté par A9

ensuite 9+31 = 40 pour le « la » et ainsi de suite

A22 représente « fa » et A23 « mi# »

Le schéma s’arrête à A23 pour ne pas devenir illisible

Entre A0 et A5 donc entre do et do# il y a 5 commas

Répartition :

do_5_do#_4_ré_5_ré#_4_mi_4_fa_5_fa# _4_sol_5_sol#_4_la_5_la#_4_si_4_do

La gamme tempérée

Elle s’affranchit des approximations précédentes en ne s’écartant que très peu des exigences harmoniques.

Les fréquences forment une suite géométrique « f »de raison R tel que f₀ =1 pour « do »et f₁₂ =2 pour le « do » suivant. Autrement dit R¹² = 2

R = 2^1/12 = 1,059 à 1 millième près par défaut

notes

do

do#

ré

ré#

mi

fa

fa#

sol

sol#

la

la#

si

do

fi

1

R

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

R11

2

1

1,06

1,12

1,19

1,26

1,33

1,41

1,5

1,59

1,68

1,78

1,89

2

Les rapports entre 2 fréquences consécutives sont égaux à R

si on pose r = Log(R) = log(2) /12 la suite des log des fréquences précédentes est arithmétique de raison r

les différences de log associées à un ton vaut 2r et celle qui est associée à un 1/2 ton vaut r qui est la moitié de 2r

Le terme « demi ton » fait donc référence implicitement aux logarithmes des fréquences associées.

Les transpositions dans cette gamme ne provoquent aucune distorsion.

Comparaison des gammes

notes	do	do#	ré	ré#	mi	fa	fa#	sol	sol#	la	la#	si
Zarlino+	1	1,07	1,13	1,2	1,25	1,33	1,4	1,5	1,6	1,67	1,8	1,88
Pythagore	1	1,07	1,13	1,2	1,27	1,35	1,42	1,5	1,6	1,69	1,8	1,9
tempérée	1	1,06	1,12	1,19	1,26	1,33	1,41	1,5	1,59	1,68	1,78	1,89

L’égalité des valeurs approchées n’implique pas l’égalité réelle