La disparition des jumeaux !

Si la liste des nombres entiers premiers est illimitée, on peut légitiment craindre que celle des nombres premiers jumeaux ne le soit pas.

A défaut d’une démonstration rigoureuse , ce qui suit a pour objet d’appuyer la conviction largement établie dans la communauté mathématique que la suite des premiers jumeaux est illimitée.

Au voisinage de l’infini le nombre de couples d’entiers jumeaux compris entre le n° entier premier et son carré est lui même « très grand »

Quelques définitions :

Un entier naturel est premier si et seulement s’il a exactement 2 diviseurs.

Ainsi 1 n’est pas premier. 2 est premier mais ses multiples ne le sont pas.

(Un multiple de n est k n avec k entier naturel et k>1)

Le premier entier suivant 2 épargné par l’exclusion précédente est 3 qui est premier.

2 et 3 sont les seuls entiers premiers consécutifs.

Pour la suite les entiers premiers sont tous impairs et diffèrent de 2 ou d’un multiple de 2.

2 entiers premiers qui diffèrent de 2 sont dits jumeaux

.

Le processus engagé s’appelle le crible d’ Erathostène consistant à éliminer de la suite des entiers épargnés, les multiples de ceux qui sont déjà reconnus comme premiers.

Les entiers premiers suivants ne devront être ni multiples de 2 ni multiples de 3.

Les entiers multiples de 2 et 3 sont multiples de 6.

L’examen des entiers modulo 6 permet d’exhiber les multiples de 2 congrus à 0, 2 ou 4,

les multiples de 3 congrus à 0 ou 3, et les entiers non multiples de 2 ou 3 congrus à 1 ou 5.

Ces derniers peuvent s’écrire sous la forme 6 n ± 1 avec n>0

Les nombres premiers jumeaux suivant 3, sont 5 et 7 :respectivement 6x1 - 1 et 6x1 + 1

Le 1 souligné sera baptisé second pour qualifier la paire de jumeaux 5 et 7

Faisons maintenant le lien avec la table de multiplication des nombres à 1 chiffre

Les entiers figurant dans la partie bleutée sont exclus de la liste des entiers premiers qui sont distingués par la couleur rouge.

Nous allons maintenant coder les nombres premiers supérieurs à 3 en établissant une table de multiplication des entiers de la forme 6n ± 1

m et n désignent ici des entiers naturels

Notons maintenant que l’ensemble des entiers de la forme 6n ± 1 est stable pour la multiplication.

En posant p_n= 6n-1 et q_n = 6n+1, on est conduit au passage à définir une opération T₁ sur les indices :

q_n*q_m = (6 n + 1)(6 m + 1) = 36 n m + 6 n + 6 m + 1 = 6 (6 n m + n + m ) +1

par définition de T₁

n T₁ m = 6 m n + m + n

q_n * p_m = (6 n+ 1)(6 m-1)= 6( 6 n m - n + m ) + 1 d’où par définition de T₂

n T₂ m = 6 n m -n + m

enfin p_n *p_n =(6 n – 1)(6 m - 1) = 6( 6 n m -n - m) - 1 et par suite pour T₃ :

n T₃ m = 6 n m – n - m

La table de Pythagore des produits q_n *q_m peut être remplacée par celle des indices

En regroupant les tables de T₁ T₂ et T₃ et en tenant compte de la symétrie / diagonale ,on obtient :

En haut à droite, on retrouve la table de T₁ en dessous celle de T₂ et en bas à gauche celle de T₃

Notons au passage que les nombres repérés par un fond jaune sont exclus de la liste des codes d’entiers premiers inférieurs à 28.

Notons que 41, c’est 3 T₁ 2 mais aussi 1 T₂ 6, le 1° codant 19x13 =6x41+1 et le second : 7x35 = 6x41-1 d’où l’intérêt d’un code supprimant cette ambiguïté :

Un autre code des entiers naturels de la forme 6n ± 1 :(n>0)

En ligne et en colonne, les termes sont dans chaque table en progression arithmétique :

ex : nT₁m = (6 n +1) m +n qui est le terme général d’une suite arithmétique de raison 6n+1.

Les colonnes de T₁ pourraient se prolonger dans la table de T₂ à condition de changer le signe des termes de T₂

Ainsi, on remplace les entiers de la forme 6n ± 1 avec n >0 par des entiers relatifs de la forme 6n +1

L’intérêt de cette modification, c’est que T a désormais une seule forme :

n T m = 6 n*m + n + m avec n et m entiers relatifs.

Les 3 tables précédentes se fondent en une seule :

Les nombres premiers p_i (i désignant l'ordre dans la liste des entiers premiers à partir de 5) sont associés aux p'_i qui sont désormais signés ainsi que leur code c'_i défini par p'_i = 6 c'_i + 1.

ainsi p1 =5

p'1 = -5

c'1 = -1

p2 = p'2 = 7

et c'2 = 1

La table de multiplication des p_i peut désormais être remplacée par la table de composition des c'_i associés

Le schéma suivant superpose la lecture des entiers repérés sur les axes noirs et leur code lu sur les axes rouges avec les vecteurs unitaires u et v

Le passage d’un ensemble d’entiers naturels à un ensemble d’entiers relatifs qui codent les précédents oblige à préciser le vocabulaire

A la notion de multiples d’un entier on associe celle de c_multiples de son code

On distingue ensuite dans l’ensemble des relatifs la relation d’ordre naturel et la notion de c_ordre : 0,-1,1,-2,2,...distincte de la relation d’ordre naturel ..-2,-1,0,1,1,2...

Illustrons maintenant l’application du crible d’ Erathostène appliqué aux codes des entiers premiers après 3

En bleu pale figurent les lignes et les colonnes associées à -1 et ses c_multiples avec des écarts de 5.

En orange on retrouve les c_multiples de 1 avec des écarts de 7. Notons que -6 se trouvait déjà dans la catégorie précédente.

En violet on retrouve par exemple 2 T -2= -24 qui est épargné par le crible 2 est donc un entier second associé aux jumeaux 11 et 13

Dénombrements et estimations

Dans un intervalle d’amplitude 5 ou d’un multiple de 5 on peut dénombrer les codes non c_multiples de -1 dans le cas contraire on se contentera d’une estimation.

Les codes c_multiples de -1 apparaissent avec un fréquence de 1/5 et les autres avec une fréquence de 4/5.

Sur l’intervalle [a;a+3[ (par exemple) selon que a est congru modulo 5 à :0,1,2,3,4, le nombre de codes non c_multiples de -1 est respectivement 3, 3,2,2,2 soit en moyenne 2,4 qui est le produit de l’amplitude de l’intervalle par la fréquence 0,8

On utilisera par la suite des intervalles qualifiés d’adaptés centrés en 0 permettant un dénombrement (et pas seulement une estimation) :

{-2, -1 ,0 ,1 ,2 }compte exactement 4 codes non c_multiples de -1 : -2, 0, 1, 2

{-3,-2,-1,0,1,2,3} compte 6 codes non c_multiples de 1 : -3, -2,-1,0,2,3

Pour la suite on définit une fonction « F » à valeurs booléennes sur l’ensemble des entiers relatifs exprimant la possibilité pour un entier d’intégrer la liste L’ des codes d’entiers premiers

F est initialisée à « vrai » et F_i est la restriction à un intervalle adapté à la présence dans L’_i des i premiers codes de premiers

Premiers pas pour le nouveau crible :

A_i est un intervalle adapté

p’_i est le i° entier premier signé à partir de 5 et p_i le i° entier premier à partir de 5

P’_i et P_i sont les produits des i premiers précédents.

Pour i=1 :

x	-2	-1	0	1	2
F(x)	vrai	faux	vrai	vrai	vrai

F est périodique de période 5

Ici A1 = [-2,2]

c’1= -1

p’1=-5

P’1= -5

p1= 5

P1=5

L’1 = {-1}

L1={5}

au stade suivant :

dans le tableau précédent le premier indice non nul au regard du c_ordre associé à « vrai »est 1, qui code 7 et maintenant A₂= [-17,17]

« faux » est noté f et « vrai » v

-17	-16	-15	-14	-13	-12	-11	-10	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0
v	f	v	v	f	v	f	v	v	v	v	f	v	v	v	v	f	v
x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
F(x)	f	v	v	f	v	v	v	f	f	v	v	v	v	f	f	v	v

F est maintenant périodique de raison 5x7 =35

L’alternance des couleurs illustre la reproduction de 7 fois le motif précédent.

On retrouve « f » pour -16, -11, (-6),-1,4,9 et 14 Ensuite les c_multiples de 1 voient leur image passer à « f » pour –13, -6 ,1, 8 et 15.

A2 = [-17,17]

c’2= 1

p’2= 7

P’2= -35

p2= 7

P2= 35

L’2 = {-1,1}

L2={5,7}

et après ! Le prochain code à entrer dans L’ est -2

On qualifiera d’acceptable un code c’ tel que F(c’) = « vrai »

(tout en remarquant le caractère provisoire de ce qualificatif !)

De plus F(0) demeure « vrai » bien que 0 qui code 1 n’entre pas dans le processus.

Dénombrement des codes acceptables dans le cas précédent avec i = 2

Dans un intervalle d’amplitude 35 on compte 35/5 = 7 codes non acceptables :

-16, 11, -6, -1, 4, 9, 14 associés à -1

On compte en outre 35/7=5 codes non acceptables : -13, -6, 1, 8, 15 associés à 1

-6 étant compté 2 fois les codes non acceptables sont au nombre de 5 + 7 – 1 = 11

Il reste 35 – 11 = 24 codes acceptables

On peut aussi remarquer que si 4 codes sur 5 sont acceptables relativement à -1 , que 6 codes sur 7 sont acceptables relativement à 1 alors 4x6 = 24 sont acceptables relativement à -1 et 1 dans un intervalle d’amplitude 5x7 :

(5 - 1)x(7 - 1) = 5x7 - 5 - 7 +1 = 5x7 – (5 + 7 - 1)

Plus généralement

L’_i contient les i premiers codes de nombres premiers (signés) à partir de c’=-1

A_i est un intervalle centré en 0 dont une des bornes est la partie entière de P’_i/2 et dont l’amplitude est (au signe près) P’_i

Le nombre de codes acceptables de A_i au regard des i premiers codes de L’_i est :

(5 - 1)(7 - 1)…..(p_i -1)

Le code suivant c’_i+1 destiné à entrer dans L’ n’est autre que le minimum au sens du c_ordre de l’ensemble des codes acceptables de A_i , ce qui montre au passage que la suite des entiers premiers est illimitée.

Et pour les jumeaux !

Remarquons que l’ opposé d’un codes négatifs non acceptables relativement à c’ ne peut coïncider avec un code positif non acceptable relativement au même c’

Posons G(x) = F(x) ^ F(-x) et donnons à l’adjectif acceptable le sens qu’il avait jusqu’alors relativement à F

Autrement dit dans un intervalle d’amplitude p_i on compte p_i -2 codes acceptables et sur un intervalle adapté A_i , le nombre de codes acceptables est :

E_i =(5 – 2)(7 – 2)...(p_i -2) = 5x7x.. .x p_i (1 – 2/5)(1 – 2/7)….(1 – 2/pi)

= P_i (3/5)(5/7)….((p_i-2)/p_i)

On reconnaît ici le produit d’une amplitude par une fréquence

Les premières fréquences suggèrent une suite de simplifications :

k_i étant le i° impair à partir de 3

(k₁/k₂) ( k₂/k₃) …..(k_i-1/k_i) = 3/ k_i

le produit (3/5)(5/7)(9/11)sera écrit (3/5)(5/7)(7/9)(9/11) (9/7) afin de pouvoir utiliser la simplification précédente.

ainsi s_j étant le j° impair non premier inférieur à p_i on a :

E_i = P_i x 3/p_i x R_i où R_i est le produit des s_j/(s_j - 2) . (Il importe de remarquer que R_i >1)

En particulier E₂ = 35x 3/7=15 soit :

-17, -12, -10, -7, -5, -3, -2, 0, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 17

Il apparaît que pour débusquer les entiers seconds il convient d’ignorer 0 et de ne prendre en compte que les codes positifs.

Dans l’élimination des c_multiples de 1 les c_multiples de -1 ayant été déclarés non acceptables on peut appliquer le crible à partir du c_carré de 1 qui vaut 8.

Les codes inférieurs à 8 demeurent définitivement acceptables au regard de F et de G

En particulier les entiers 2,3,5,7 sont seconds

En limitant notre dénombrement à un intervalle d’amplitude 8 on peu estimer le nombre des entiers seconds à : 8x 3/7 = 24/7 soit environ 3,4

Plus généralement le c_carré de c’_i valant 6c’_i² + 2c’_i , le nombre d’entiers seconds d’un intervalle dont l’amplitude est ce c_carré est estimé à :

(6c’_i² + 2c’_i ) (3/ p_i ) x R_i

p_i étant la valeur absolue de 6c’_i+1

Au voisinage de l’infini le terme dominant étant 3 R_i c_i cette expression tend vers l’infini quand i tend vers l’infini.

Conclusion

S’agissant d’une estimation on n’apporte pas la preuve formelle que la suite des nombres seconds soit illimitée mais un scénario compatible avec le résultat précédent affirmant le contraire semble très improbable !

Remarque

Si c’_i est le dernier code positif d’un entier premier on sait qu’aucun des codes compris entre -c’_i et c’_i n’est acceptables sauf 0

L’estimation précédente donne:(2c’_i + 1)(3/(6c’_i + 1)) _x R_i équivalent à R_i au voisinage de l’infini, la valeur exacte étant ici 1