Goldbach

Un ordre nouveau pour les entiers premiers

Après 3, les nombres premiers sont de la forme 6 n ± 1 avec n entier naturel strictement positif

Si on change de signe les nombres de la forme 6 n - 1 on peut remplacer la condition précédente par l’expression 6 n + 1 avec n entier relatif non nul

Les nombres premiers sont donc de la forme | 6 n + 1| avec n dans Z*. On dira que n est le code du nombre.

Dans l’ordre des codes les entiers premiers sont ...23, 17, 11, 5, 7, 13, 19 …

L’ordre naturel 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 induit pour les codes l’ordre -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4 qu’on peut baptiser c_ordre.

A chaque fois qu’on augmente n, d’une unité, 6 n + 1 augmente de 6 .

Soit p = 6 n + 1 Si on augmente n de p unités, 6 n + 1 augmente de 6xp .

Ainsi on passe se p à p + 6p qui est un multiple de p et qui donc n’est pas premier !

Plus généralement si on augmente le code n, de k(6 n + 1) le nouveau code correspond à un multiple de 6 n + 1 :

n + k(6 n + 1) est le code de 6(n + k(6 n + 1)) +1 = ( 6 k + 1)( 6 n + 1) avec n et k entiers relatifs

Une table d’addition des entiers de la forme |6 n + 1|

							37						74	80	86
							31					62	68	74	80
							25				50	56	62	68	74
							19			38	44	50	56	62	68
							13		26	32	38	44	50	56	62
							7	14	20	26	32	38	44	50	56
41	35	29	23	17	11	5	1	7	13	19	25	31	37	43	49
						10	5	12	18	24	30	36	42	48	54
					22	16	11	18	24	30	36	42	48	54	60
				34	28	22	17	24	30	36	42	48	54	60	66
			46	40	34	28	23	30	36	42	48	54	60	66	72
		58	52	46	40	34	29	36	42	48	54	60	66	72	78
	70	64	58	52	46	40	35	42	48	54	60	66	72	78	84
82	76	70	64	58	52	46	41	48	54	60	66	72	78	84	90
88	82	76	70	64	58	52	47	54	60	66	72	78	84	90	96
94	88	82	76	70	64	58	53	60	66	72	78	84	90	96	102

Si x et y sont les codes lus horizontalement et verticalement la table précédente illustre la fonction S(x,y)=|6x+1|+|6y+1|

Comme S(y,x) =S(x,y) on se contente des valeurs situées en dessous de la première diagonale.

Toute variation d’une unité de x ou de y conduit à une variation de 6 de S(x,y). Ainsi les lignes de niveau de S(x,y) sont-elles parallèles aux diagonales :

A la seconde (diagonale) dans les quarts de plans I et III et à la première dans le quart de plan II.

La 1° valeur apparaissant au dessus de l’axe horizontal est la somme de 6 x + 1 et de 7.

La 1° valeur apparaissant en dessous de l’axe horizontal est la somme de 6 x + 1 et de 5. soit 2 de moins que la somme précédente.

On a de même la 1° valeur située à droite de l’axe vertical qui dépasse de 2 la 1° valeur située à gauche

Dans l’exemple illustré ci-dessus la ligne de niveau de 40 ( complète, elle comporte 6 éléments) est suivie de la ligne de niveau de 42 puis de celle de 44.

Les entiers naturels pairs sont de la forme 6 n ± 2 avec n entier naturel.

Les « 6 n – 2 » sont sur les lignes de niveau du quart de plan III.

Les « 6 n » sont sur les lignes de niveau du quart de plan II.

Les « 6 n + 2 »sont sur les ligne de niveau du quart de plan I.

Ces lignes de niveau ont le même nombre d’éléments ici n – 1 positif dans le quart de plan I.

Le prolongement sur les axes des lignes de niveau aboutissent à l’entier intermédiaire : 41 (de code -7) entre 40 et 42, 43 (de code 7) entre 42 et 44

Une table d’addition pour les entiers premiers

____

Dans le schéma précédent les axes sont en noir et on élimine de la table les sommes associées à un « x » ou un « y » codes d’entiers non premiers.

Après 0 qui est le code de 1, vient pour le c_ordre, -1 le code de 5 . D’après une remarque précédente on devra éliminer les lignes et les colonnes (en rouge) distantes d’un multiple de 5 du code -1.

En particulier -1+5 =4 qui est le code de 25 et du côté négatif -1 – 5 = -6 qui est le code de 35

Le code qui suit -1, c’est 1 le code de 7. Le 1° multiple de 7 (dans le contexte des entiers « 6n+1 ») est 7*5 qui a déjà été écarté.

Le 1° terme à éliminer sera le carré de 7 et par la suite les produit de 7 par les entiers de la famille non encore éliminés. En pratique on supprime (en cyan) les lignes et les colonnes non encore supprimées à partir de 1 vers les positifs et vers les négatifs :

En cyan on retrouve 8 qui est le code de 49 (-6 a déjà été supprimé en rouge) . Ensuite -6-7 = -13 est le code de 77.

Ensuite 8+7 = 15 qui est le code de 91=7*13.

Les lignes et les colonnes jaunes sont associées aux multiples de 11 et les bleus foncés aux multiples de 13.

x, y et z sont respectivement 100,102, 104.

104 est la somme de 7 et 104-7 = 97 dont le code vaut (97 – 1)/6 = 16 . De même 102 = 6*17 avec 17 -1 = 16

On observe que dans le quart de plan I il reste 8 additions possibles donnant z = 104

Dans le quart de plan II il reste 8 additions possibles donnant y = 100

Dans le quart de plan III il reste 10 additions possibles donnant x = 100

Plus généralement

Le but du jeu est de montrer que sur chaque ligne de niveau il reste au moins une manière d’obtenir l’entier pair associé à cette ligne de niveau.

On pourra pour cela risquer de minorer ce nombre de manières dès lors qu’il reste positif.

On pourra donc majorer le nombre de lignes ou de colonnes exclues de la table .

Dans tout intervalle dans Z* d’amplitude 5 on trouvera 4 codes d’entiers non multiple de 5

Dans tout intervalle dans Z* d’amplitude 7 on trouvera 6 codes d’entiers non multiple de 7

Dans tout intervalle dans Z* d’amplitude 5x7 on trouvera 4x6 codes d’entiers non multiple de 35

Dans un intervalle d’amplitude « a » le nombre d’entiers non multiples de 5 est a(1-1/5). Il s’agit là d’une approximation car dans un intervalle d’amplitude inférieure à 5 on peut trouver ou non un multiple de 5.

Sur une courbe de niveau du quart de plan ou III des résultats peuvent être écartés pour se trouver sur une ligne ou une colonne illustrant une exclusion.

Pour l’exemple ci-dessus,dans le quart de plan I on a 3 lignes et 3 colonnes rouges pour exclusion des multiples de 5. Dans le quart de plan III les exclusions (rouges) horizontales et verticales sont confondues.

(On fera comme si elles ne l’était pas!)

On peut faire des constatations analogues concernant les multiples de 7

Sur un intervalle d’amplitude 16 (pour les codes) on peut estimer le nombre de sommes d’entiers non multiples de 5 ou de 7 à :

16*(1-2/5)(1-2/7) soit environ 6,9 qui minore à la fois les entiers 10, 8 et 8

Le nombre premier suivant 7 est 11 dont le carré a pour code 20 qui dépasse l’effectif des lignes de niveau.

Examinons le produit (1-2/5)(1-2/7)…(1-2/p_i) avec pi désignant le i° premier après 3

(3/5)(5/7)( )(11/13)… ((p_i-2)/p_i).

On pourrait pour procéder à une simplification en cascade , introduire 9/11 dans la parenthèse vide et compenser par le facteur 11/9 placé à la fin.

Le produit de ces fractions compensatoires étant supérieur à 1, le produit précédent est minoré par (3/5)(5/7)..( (p_i-2)/p_i) = 3/p_i

Soit maintenant à déterminer le dernier p_i dont il faudra tenir compte dans notre dénombrement.

Le premier (au sens du c-ordre) code à exclure est celui du carré de p_i

Plaçons nous donc dans le premier quart de plan. Nous cherchons les entiers premiers dont la somme vaut 6 n + 2.

La valeur intermédiaire entre les lignes de niveau des quarts de plans I et II est 6 n + 1.

La racine carrée de ce nombre est un majorant du dernier entier premier impliqué dans les interdits de la ligne de niveau associée à 6 n + 2

Un minorant du nombre de sommes valant 6n+2 de 2 entiers premiers est donc :

3(n-1) / racine(6n+1)

Cette expression tendant vers l’infini lorsque n tend vers l’infini, il faut être fort pessimiste pour craindre qu’un entier pair puisse ne pas être la somme de 2 entiers premiers.

Un calcul analogue pourrait être mené pour les 2 autres quarts de plans.

Le recours à une estimation range cette approche dans la catégorie des arguments heuristiques à l’appui de l’hypothèse selon laquelle

Tout entier pair supérieur à 8 peut s’exprimer comme somme de 2 entiers premiers.

							37						74	80	86
							31					62	68	74	80
							25				50	56	62	68	74
							19			38	44	50	56	62	68
							13		26	32	38	44	50	56	62
							7	14	20	26	32	38	44	50	56
41	35	29	23	17	11	5	1	7	13	19	25	31	37	43	49
						10	5	12	18	24	30	36	42	48	54
					22	16	11	18	24	30	36	42	48	54	60
				34	28	22	17	24	30	36	42	48	54	60	66
			46	40	34	28	23	30	36	42	48	54	60	66	72
		58	52	46	40	34	29	36	42	48	54	60	66	72	78
	70	64	58	52	46	40	35	42	48	54	60	66	72	78	84
82	76	70	64	58	52	46	41	48	54	60	66	72	78	84	90
88	82	76	70	64	58	52	47	54	60	66	72	78	84	90	96
94	88	82	76	70	64	58	53	60	66	72	78	84	90	96	102

							37						74	80	86
							31					62	68	74	80
							25				50	56	62	68	74
							19			38	44	50	56	62	68
							13		26	32	38	44	50	56	62
							7	14	20	26	32	38	44	50	56
41	35	29	23	17	11	5	1	7	13	19	25	31	37	43	49
						10	5	12	18	24	30	36	42	48	54
					22	16	11	18	24	30	36	42	48	54	60
				34	28	22	17	24	30	36	42	48	54	60	66
			46	40	34	28	23	30	36	42	48	54	60	66	72
		58	52	46	40	34	29	36	42	48	54	60	66	72	78
	70	64	58	52	46	40	35	42	48	54	60	66	72	78	84
82	76	70	64	58	52	46	41	48	54	60	66	72	78	84	90
88	82	76	70	64	58	52	47	54	60	66	72	78	84	90	96
94	88	82	76	70	64	58	53	60	66	72	78	84	90	96	102

							37						74	80	86
							31					62	68	74	80
							25				50	56	62	68	74
							19			38	44	50	56	62	68
							13		26	32	38	44	50	56	62
							7	14	20	26	32	38	44	50	56
41	35	29	23	17	11	5	1	7	13	19	25	31	37	43	49
						10	5	12	18	24	30	36	42	48	54
					22	16	11	18	24	30	36	42	48	54	60
				34	28	22	17	24	30	36	42	48	54	60	66
			46	40	34	28	23	30	36	42	48	54	60	66	72
		58	52	46	40	34	29	36	42	48	54	60	66	72	78
	70	64	58	52	46	40	35	42	48	54	60	66	72	78	84
82	76	70	64	58	52	46	41	48	54	60	66	72	78	84	90
88	82	76	70	64	58	52	47	54	60	66	72	78	84	90	96
94	88	82	76	70	64	58	53	60	66	72	78	84	90	96	102